Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание № 2195
i

Ос­но­ва­ни­ем че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды яв­ля­ет­ся ромб, у ко­то­ро­го ко­си­нус угла равен дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби и длина сто­ро­ны равна 8. Все бо­ко­вые грани пи­ра­ми­ды на­кло­не­ны к плос­ко­сти ее ос­но­ва­ния под углом α, а вы­со­та пи­ра­ми­ды равна 18. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та умно­жить на тан­генс альфа .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Так как все бо­ко­вые грани пи­ра­ми­ды на­кло­не­ны к плос­ко­сти ее ос­но­ва­ния под одним углом, вер­ши­на пи­ра­ми­ды про­еци­ру­ет­ся в центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в ромб, ле­жа­щий в ос­но­ва­нии, цен­тром окруж­но­сти яв­ля­ет­ся точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей ромба. Най­дем ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в ромб. Пусть ост­рый угол ромба равен β. От­ре­зок BM равен 2r, AB  =  8. Най­дем синус бета . Имеем:

синус бета = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус ко­си­нус в квад­ра­те бета конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус дробь: чис­ли­тель: 49, зна­ме­на­тель: 64 конец дроби конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби .

Тогда:

2r = 8 синус бета = дробь: чис­ли­тель: 8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та ,

от­ку­да r = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Тан­генс угла α равен от­но­ше­нию вы­со­ты пи­ра­ми­ды к ра­ди­у­су окруж­но­сти, впи­сан­ной в ромб. Имеем:

тан­генс альфа = дробь: чис­ли­тель: 18, зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец дроби } = дробь: чис­ли­тель: 18 умно­жить на 2, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 36 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 15 конец дроби .

Най­дем зна­че­ние вы­ра­же­ния 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та умно­жить на тан­генс альфа :

2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 36 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 15 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 72 умно­жить на 15, зна­ме­на­тель: 15 конец дроби = 72.

Ответ: 72.


Аналоги к заданию № 2195: 2225 Все

Сложность: V
Методы геометрии: Ис­поль­зо­ва­ние три­го­но­мет­рии
Классификатор стереометрии: 1\.3\. Угол между плос­ко­стя­ми, 3\.6\. Не­пра­виль­ные пи­ра­ми­ды
Спрятать решение · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025